2019-2020学年北师大版选修1-1 函数的极值 学案
2019-2020学年北师大版选修1-1    函数的极值  学案第2页

 求可导函数极值的步骤

(1)求导数 fʹ(x) ;

(2)求方程 fʹ(x)=0 的根;

(3)检查 fʹ(x) 在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f(x) 在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么 f(x) 在这个根处取得极小值.

精选例题

利用导数求函数的极值

1. 函数 f(x)=-1/3 x^3+1/2 x^2+2x 取得极小值时,x 的值是 .

【答案】 -1

【分析】 fʹ(x)=-x^2+x+2=-(x-2)(x+1),

令 fʹ(x)>0,得 -1

令 fʹ(x)<0,得 x<-1 或 x>2.

所以函数 f(x) 在 (-∞,-1),(2,+∞) 上递减,在 (-1,2) 上递增.

所以当 x=-1 时,函数 f(x) 取得极小值.

2. 若 x=-1 时,函数 f(x)=x^3+ax^2+bx+b^2 有极值 8,则 a+b 值的为 .

【答案】 -9/4

3. 已知函数 f(x)=x^3+ax 在 R 上有两个极值点,则实数 a 的取值范围是 .

【答案】 (-∞,0)

【分析】 fʹ(x)=3x^2+a,由题意可知 fʹ(x)=0 有两个不等的根,

所以 a<0.

4. 已知函数 f(x)=x^3+2x^2-ax+1 在区间 (-1,1) 上恰有一个极值点,则实数 a 的取值范围是 .

【答案】 [-1,7)

5. 已知函数 f(x)=-x^3+ax^2-4 在 x=2 处取得极值,若 m∈[-1,1],则 f(m) 的最小值为 .