（x）恰好有两个不同的零点，则f（1）＝0或f（2）＝0，解得a＝5或a＝4.

　　2.已知函数f（x）＝ax2＋1（a>0），g（x）＝x3＋bx.

　　（1）若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a，b的值；

　　（2）当a＝3，b＝－9时，若函数f（x）＋g（x）在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围.

　　解：（1）因为f（x）＝ax2＋1，所以f′（x）＝2ax，所以f′（1）＝2a.

　　又f（1）＝c＝a＋1，所以f（x）在点（1，c）处的切线方程为y－c＝2a（x－1），

　　即y－2ax＋a－1＝0.

　　因为g（x）＝x3＋bx，所以g′（x）＝3x2＋b，

　　所以g′（1）＝3＋b.

　　又g（1）＝1＋b＝c，

　　所以g（x）在点（1，c）处的切线方程为y－（1＋b）＝（3＋b）（x－1），

　　即y－（3＋b）x＋2＝0.

　　依题意知3＋b＝2a，且a＋1＝1＋b，即a＝3，b＝3.

　　（2）记h（x）＝f（x）＋g（x）.当a＝3，b＝－9时，

　　h（x）＝x3＋3x2－9x＋1，h′（x）＝3x2＋6x－9.

　　令h′（x）＝0，得x1＝－3，x2＝1.

　　h（x）与h′（x）在（－∞，2]上的变化情况如下：

x （－∞，－3） －3 （－3，1） 1 （1，2） 2 h′（x） ＋ 0 － 0 ＋ h（x）  28  －4  3 　　由此可知：

　　当k≤－3时，函数h（x）在区间[k，2]上的最大值为h（－3）＝28；

　　当－3

　　因此，k的取值范围是（－∞，－3].

　　主题4　利用导数研究不等式恒成立问题

　已知函数f（x）＝x3＋ax＋b（a，b∈R）在x＝2处取得极小值－.

　　（1）求函数f（x）的增区间；

　　（2）若f（x）≤m2＋m＋对x∈[－4，3]恒成立，求实数m的取值范围.

　　【解】　（1）由已知得f（2）＝－，f′（2）＝0，又f′（x）＝x2＋a，所以＋2a＋b＝－，4＋a＝0，解得a＝－4，b＝4，则f（x）＝x3－4x＋4.令f′（x）＝x2－4>0，得x<－2或x>2，所以函数f（x）的增区间为（－∞，－2），（2，＋∞）.

　　（2）f（－4）＝－，f（－2）＝，f（2）＝－，f（3）＝1，则当x∈[－4，3]时，f（x）的最大值为，故要使f（x）≤m2＋m＋对x∈[－4，3]恒成立，只要≤m2＋m＋，解得m≥2或m≤－3.所以实数m的取值范围是（－∞，－3]∪[2，＋∞）.