处的切线方程是　　　　　　.

　　解析：当x＞0时，－x＜0，则f（－x）＝ex－1＋x.又f（x）为偶函数，所以f（x）＝f（－x）＝＋x，所以当x＞0时，f′（x）＝ex－1＋1，则曲线y＝f（x）在点（1，2）处的切线的斜率为f′（1）＝2，所以切线方程为y－2＝2（x－1），即y＝2x.

　　答案：y＝2x

　　主题2　利用导数研究函数的单调性

　　　已知函数f（x）＝－2x2＋ln x，其中a为常数且a≠0.

　　（1）若a＝1，求函数f（x）的单调区间；

　　（2）若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，求a的取值范围.

　　【解】　（1）当a＝1时，f（x）＝3x－2x2＋ln x，其定义域为（0，＋∞），则f′（x）＝－4x＋3＝＝（x>0），

　　当x∈（0，1）时，f′（x）>0，故函数f（x）在区间（0，1）上单调递增；

　　当x∈（1，＋∞）时，f′（x）<0，故函数f（x）在区间（1，＋∞）上单调递减.

　　所以f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，＋∞）.

　　（2）由题易得f′（x）＝－4x＋（x>0），

　　因为函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，

　　所以在区间[1，2]上，f′（x）≥0或f′（x）≤0恒成立，

　　即－4x＋≥0或－4x＋≤0在x∈[1，2]时恒成立，

　　即≥4x－或≤4x－（1≤x≤2），

　　即≥或≤，

　　其中1≤x≤2.

　　令h（x）＝4x－（1≤x≤2），易知函数h（x）在[1，2]上单调递增，

　　故h（1）≤h（x）≤h（2）.

　　所以≥h（2）或≤h（1），

　　即≥4×2－＝或≤4×1－＝3，

　　解得a<0或0

　　故a的取值范围为（－∞，0）∪∪[1，＋∞）.

　　函数的单调性与导数的关注点

　　（1）关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间.

　　（2）已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价.

　　（3）分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集.

　　（4）求参数的范围时常用到分离参数法.　

　1.若函数f（x）＝x2＋ax＋在区间上是增函数，则a的取值范围是（　　）